Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e funções especiais como a função delta de Dirac (
) e a função degrau de Heaviside (
). Para resolver, vamos provavelmente usar a Transformada de Laplace, que ajuda a lidar com essas funções de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução. Lembrando que:
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 4
Inserindo as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Note que
. Então:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Sabemos que:
E para a segunda parte, usamos o teorema do atraso (Teorema de Shifting):
Passo 8
Aplicando as inversas:
Para
, fazemos decomposição em frações parciais:
Resolvendo, encontramos
,
,
. Então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: