Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
e) y'' + 2y' + y = delta(t) + H_2pi(t), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e funções especiais como a função delta de Dirac ( ) e a função degrau de Heaviside ( ). Para resolver, vamos provavelmente usar a Transformada de Laplace, que ajuda a lidar com essas funções de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução. Lembrando que:

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas transformadas:

Passo 4

Inserindo as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos com :
Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que . Então:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :
Sabemos que:
E para a segunda parte, usamos o teorema do atraso (Teorema de Shifting):

Passo 8

Aplicando as inversas:
Para , fazemos decomposição em frações parciais:
Resolvendo, encontramos , , . Então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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