Encontre a solução y(t) das equaçōes integrais:
a) y(t)=4 t-3 integral0^t y(u) sen(t-u) d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função y(t) = 4t - 3 integral0^t y(u) sen(t - u) , du que satisfaz a equação integral:
Esse tipo de equação é conhecida como equação integral de Volterra do segundo tipo. Para resolver, vamos precisar usar ferramentas de cálculo integral e transformar a equação em uma forma mais fácil de trabalhar, como uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddt y(t) = ddt [ 4t - 3 integral0^t y(u) sen(t - u) , du ] . A ideia aqui é transformar a equação integral em uma equação diferencial, que geralmente é mais fácil de resolver.
Derivando o lado direito, temos:
Sabemos que e que , então simplificando:
y'(t) = 4 - 3 [ y(t) sen(0) + integral0^t y(u) ddt sen(t - u) , du ]

Passo 3

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral. Isso nos dará uma equação diferencial de segunda ordem.
ddt y'(t) = ddt [ 4 - 3 integral0^t y(u) cos(t - u) , du ]
Derivando o lado direito:
Como y''(t) = -3 [ y(t) cos(0) + integral0^t y(u) (-sen(t - u)) , du ] e simplificando os sinais:

Passo 4

Observamos que a integral aparece novamente. Mas, de acordo com a equação original:
Podemos isolar a integral:
Substituindo isso na expressão para y(t) = 4t - 3 integral0^t y(u) sen(t - u) , du :
integral0^t y(u) sen(t - u) , du = 4t - y(t)3
Então, temos a equação diferencial:
y''(t) = -3 y(t) + 3 ( 4t - y(t)3 ) = -3 y(t) + 4t - y(t) = -4 y(t) + 4t

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é não homogênea e tem a forma:
y''(t) + 4 y(t) = 4t
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y''(t) + 4 y(t) = 0
A solução geral da homogênea é:
onde yh(t) = A cos(2t) + B sen(2t) e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, encontramos uma solução particular yp(t) = C t + D para a equação não homogênea. Como o lado direito é yp'(t) = C yp''(t) = 0 , tentamos uma solução polinomial:
0 + 4(C t + D) = 4t
Calculando as derivadas:
4C t + 4D = 4t
Substituindo na equação diferencial:
4C = 4 implies C = 1 4D = 0 implies D = 0
Isso resulta em:
yp(t) = t
Comparando os termos, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos determinar as constantes y(t) = yh(t) + yp(t) = A cos(2t) + B sen(2t) + t e usando as condições iniciais. Para isso, voltamos à equação original.

Passo 8

Vamos encontrar y(0) = 4(0) - 3 integral0^0 y(u) sen(0 - u) , du = 0 e y(0) = A cos(0) + B sen(0) + 0 = A = 0 :
Para y'(0) = -2(0) + 2B(1) + 1 = 2B + 1 :
Então:
Agora, para . Assim, para y'(0) = 4 - 0 = 4 :
2B + 1 = 4 implies 2B = 3 implies B = 32
Mas também podemos obter a partir da equação . Para :
Então:

Resposta

A solução da equação integral é:

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