Encontre a solução
das equaçōes integrais:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função
que satisfaz a equação integral:
Esse tipo de equação é conhecida como equação integral de Volterra do segundo tipo. Para resolver, vamos precisar usar ferramentas de cálculo integral e transformar a equação em uma forma mais fácil de trabalhar, como uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. A ideia aqui é transformar a equação integral em uma equação diferencial, que geralmente é mais fácil de resolver.
Derivando o lado direito, temos:
Sabemos que e que , então simplificando:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral. Isso nos dará uma equação diferencial de segunda ordem.
Derivando o lado direito:
Como
e simplificando os sinais:
Passo 4
Observamos que a integral aparece novamente. Mas, de acordo com a equação original:
Podemos isolar a integral:
Substituindo isso na expressão para
:
Então, temos a equação diferencial:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é não homogênea e tem a forma:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação não homogênea. Como o lado direito é
, tentamos uma solução polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Comparando os termos, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Para isso, voltamos à equação original.
Passo 8
Vamos encontrar
e
:
Para
:
Então:
Agora, para . Assim, para
:
Mas também podemos obter
a partir da equação
. Para
:
Então:
Resposta
A solução da equação integral é: