Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência para analisar:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência é convergente (ou seja, se ela se aproxima de um certo número conforme
cresce) ou divergente (se ela não se estabiliza e vai para o infinito ou menos infinito). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Vamos separar os termos na fração:
Agora, simplificamos cada termo:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando
tende para o infinito:
- Termo constante:
permanece sempre igual, não muda com . - Termo linear:
cresce sem limites conforme aumenta. - Termo inverso:
tende a zero conforme cresce.
Então, olhando para a soma:
Isso significa que, à medida que
fica muito grande, o termo
domina a expressão inteira.
Passo 4
Como o termo
cresce sem limites quando
vai para o infinito, podemos concluir que a sequência
não se aproxima de nenhum número finito. Em vez disso, ela continua aumentando indefinidamente.
Resposta
A sequência
é divergente, pois tende ao infinito conforme
cresce.
Exercícios relacionados
Encontre os limites das sequências abaixo
(e)
(e)
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
.
(e)
(e)
Determine:
Dê um exemplo de uma sequência
divergente tal que a sequência
seja convergente.