Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(b) 1 + (n^2 + 1) / (3 n)

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência para analisar: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência é convergente (ou seja, se ela se aproxima de um certo número conforme cresce) ou divergente (se ela não se estabiliza e vai para o infinito ou menos infinito). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Vamos separar os termos na fração:
Agora, simplificamos cada termo:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando tende para o infinito:
  1. Termo constante: permanece sempre igual, não muda com .
  2. Termo linear: cresce sem limites conforme aumenta.
  3. Termo inverso: tende a zero conforme cresce.
Então, olhando para a soma:
Isso significa que, à medida que fica muito grande, o termo domina a expressão inteira.

Passo 4

Como o termo cresce sem limites quando vai para o infinito, podemos concluir que a sequência não se aproxima de nenhum número finito. Em vez disso, ela continua aumentando indefinidamente.

Resposta

A sequência é divergente, pois tende ao infinito conforme cresce.

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