Resolva as seguintes equações diferenciais: (f)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Essa forma é escolhida porque, ao substituir na equação, simplifica o processo de resolução.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Fatoramos
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Passo 6
Resolvemos a equação característica:
Passo 7
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (d) ,