Resolva as seguintes equações diferenciais: (f)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Essa forma é escolhida porque, ao substituir na equação, simplifica o processo de resolução.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação original:

Passo 5

Fatoramos (que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:

Passo 6

Resolvemos a equação característica:

Passo 7

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (d) ,