(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre dois paraboloides: e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesses paraboloides. Vamos precisar entender as coordenadas cilíndricas e como transformar as equações para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
E . Então:
  1. O primeiro paraboloide fica:
  1. O segundo paraboloide fica:

Passo 3

Agora, precisamos descobrir onde esses dois paraboloides se intersectam, ou seja, encontrar o valor de onde .
Vamos resolver essa equação:
Então, a interseção ocorre quando .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para encontrar o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui:
  • varia de a porque estamos cobrindo todo o círculo.
  • varia de a , que é onde os paraboloides se encontram.
  • varia do paraboloide inferior ao paraboloide superior .

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido entre os paraboloides é unidades cúbicas.

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Nos exercícios a seguir, encontre as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco como parâmetro, onde é medido a partir do ponto onde . Comprove o seu resultado usando a equação
(1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é .
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,