(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre dois paraboloides:
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesses paraboloides. Vamos precisar entender as coordenadas cilíndricas e como transformar as equações para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
E
. Então:
- O primeiro paraboloide fica:
- O segundo paraboloide fica:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir onde esses dois paraboloides se intersectam, ou seja, encontrar o valor de
onde
.
Vamos resolver essa equação:
Então, a interseção ocorre quando
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para encontrar o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui:
-
varia de a porque estamos cobrindo todo o círculo. -
varia de a , que é onde os paraboloides se encontram. -
varia do paraboloide inferior ao paraboloide superior .
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido entre os paraboloides é
unidades cúbicas.