(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é rho^2 sen phi d rho d theta d phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas para esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender o elemento de volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral representa. A integral dada é:
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando sobre uma região que parece ser a parte superior de uma esfera de raio 3 (porque os limites de integração vão de -3 a 3 para x, e as funções de y e z dependem de x e y, formando uma esfera).

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas ( dV = rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi , , ). As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Vamos reescrever a função que estamos integrando na forma esférica. A função original é z raizx^2 + y^2 + z^2 = rho cos phi cdot rho = rho^2 cos phi . Substituindo:
  • (porque )
Então, a função fica:

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral integral integral rho^2 cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi = integral integral integral rho^4 cos phi sin phi , drho , dtheta , dphi

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a região original:
  • varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (pois , cobrindo meia rotação ao redor do eixo z).
  • varia de 0 a (porque , apenas a parte superior da esfera).
Então, os limites são:

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral com os novos limites:
integral0^3 integral0^pi integral0^pi2 rho^4 cos phi sin phi , dphi , dtheta , drho

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 cos phi sin phi , dphi :
integral0^1 u , du = [u^22]0^1 = 12
Podemos usar a substituição , então . A integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^pi dtheta = pi :

Passo 10

Por fim, integramos em relação a integral0^3 rho^4 , drho = [rho^55]0^3 = 3^55 = 2435 :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
2435 times 12 times pi = 243 pi10
Então, a resposta final é:
243 pi10

Exercícios relacionados