(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas para esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender o elemento de volume nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral representa. A integral dada é:
Aqui, estamos integrando sobre uma região que parece ser a parte superior de uma esfera de raio 3 (porque os limites de integração vão de -3 a 3 para x, e as funções de y e z dependem de x e y, formando uma esfera).
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (
,
,
). As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Vamos reescrever a função que estamos integrando na forma esférica. A função original é
. Substituindo:
-
-
(porque )
Então, a função fica:
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a região original:
-
varia de 0 a 3 (raio da esfera). -
varia de 0 a (pois , cobrindo meia rotação ao redor do eixo z). -
varia de 0 a (porque , apenas a parte superior da esfera).
Então, os limites são:
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral com os novos limites:
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Podemos usar a substituição
, então
. A integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Passo 10
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Então, a resposta final é: