(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas para esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender o elemento de volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral representa. A integral dada é:
Aqui, estamos integrando sobre uma região que parece ser a parte superior de uma esfera de raio 3 (porque os limites de integração vão de -3 a 3 para x, e as funções de y e z dependem de x e y, formando uma esfera).

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas ( , , ). As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Vamos reescrever a função que estamos integrando na forma esférica. A função original é . Substituindo:
  • (porque )
Então, a função fica:

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a região original:
  • varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (pois , cobrindo meia rotação ao redor do eixo z).
  • varia de 0 a (porque , apenas a parte superior da esfera).
Então, os limites são:

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral com os novos limites:

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Podemos usar a substituição , então . A integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Passo 10

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
Então, a resposta final é:

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides .
Nos exercícios a seguir, encontre as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco como parâmetro, onde é medido a partir do ponto onde . Comprove o seu resultado usando a equação
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,
Mostre que, se a e são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz quando .
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando quando . Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.