Mostre que os limites a seguir não existem:
lim (x, y) (0,0) x^2-4 y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite não existe. Isso está ligado ao conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: deixar x^2 - 4 cdot 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 . Assim, substituindo na função, temos:
Então, ao aproximar-se de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos deixar x^2 - 4 x^2x^2 + x^2 = -3x^22x^2 = -32 . Substituindo na função:
Dessa vez, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é .

Passo 4

Como obtivemos dois limites diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos distintos ( e ), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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