Verifique que a função
é uma solução e
, com
constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária
e pela condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar duas coisas sobre funções que resolvem um problema de valor inicial (PVI). O PVI está formado por uma equação diferencial ordinária que é
e uma condição inicial que diz
. A gente precisa:
- Confirmar que a função
é uma solução desse PVI. - Mostrar que a função
, onde é uma constante diferente de zero, não é uma solução desse PVI.
Vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, como verificar se uma função a satisfaz, e como a condição inicial entra nessa verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da equação diferencial
.
Para isso, precisamos calcular a derivada de
e ver se ela é igual a
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que:
Então, realmente,
satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora vamos conferir a condição inicial
.
Substituindo
na função
:
Isso confirma que a função
não só satisfaz a equação diferencial, mas também a condição inicial dada.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
, onde
é uma constante diferente de zero, e verificar se ela também resolve o PVI.
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Agora, calculamos
:
Para que
seja solução, teria que ser:
Vamos simplificar a expressão da raiz:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
):
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso implica que
.
Portanto, se
, a igualdade não se mantém, e assim
não satisfaz a equação diferencial quando
é diferente de zero.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
e atende à condição inicial
, sendo assim uma solução do PVI. Já a função
, com
constante não nula, não satisfaz a equação diferencial para
e, portanto, não é solução do PVI.
Exercícios relacionados
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)
(b)
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Mostre que os limites a seguir não existem:
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(g)
(g)