Verifique que a função é uma solução e , com constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária e pela condição inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar duas coisas sobre funções que resolvem um problema de valor inicial (PVI). O PVI está formado por uma equação diferencial ordinária que é e uma condição inicial que diz . A gente precisa:
  1. Confirmar que a função é uma solução desse PVI.
  2. Mostrar que a função , onde é uma constante diferente de zero, não é uma solução desse PVI.
Vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, como verificar se uma função a satisfaz, e como a condição inicial entra nessa verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação diferencial .
Para isso, precisamos calcular a derivada de e ver se ela é igual a .
A derivada de em relação a é:
Agora, vamos calcular :
Observamos que:
Então, realmente, satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora vamos conferir a condição inicial .
Substituindo na função :
Isso confirma que a função não só satisfaz a equação diferencial, mas também a condição inicial dada.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função , onde é uma constante diferente de zero, e verificar se ela também resolve o PVI.
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Agora, calculamos :
Para que seja solução, teria que ser:
Vamos simplificar a expressão da raiz:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que ):
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso implica que .
Portanto, se , a igualdade não se mantém, e assim não satisfaz a equação diferencial quando é diferente de zero.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial e atende à condição inicial , sendo assim uma solução do PVI. Já a função , com constante não nula, não satisfaz a equação diferencial para e, portanto, não é solução do PVI.

Exercícios relacionados

Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Mostre que os limites a seguir não existem:
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(g)