Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas e no intervalo de a e, depois, encontrar a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e usar cálculo integral para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Sabemos que quando no intervalo dado.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto de interseção em , vamos dividir o intervalo em duas partes para facilitar o cálculo da área:
De a , a curva está acima de .
De a , a curva está acima de .
Passo 4
Vamos calcular a área entre as curvas em cada intervalo usando integrais. A área total será a soma das áreas dos dois intervalos.
Primeiro Intervalo ( a ):
A diferença entre as curvas é .
A integral para a área é:
Integrando:
Calculando os limites:
Segundo Intervalo ( a ):
A diferença entre as curvas é .
A integral para a área é:
Integrando:
Calculando os limites:
Resposta
Somando as áreas dos dois intervalos:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas e no intervalo de a é: