Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
24. y = cos(x), y = 1 - cos(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas e no intervalo de a e, depois, encontrar a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e usar cálculo integral para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Sabemos que quando no intervalo dado.

Passo 3

Agora que encontramos o ponto de interseção em , vamos dividir o intervalo em duas partes para facilitar o cálculo da área:
  1. De a , a curva está acima de .
  2. De a , a curva está acima de .

Passo 4

Vamos calcular a área entre as curvas em cada intervalo usando integrais. A área total será a soma das áreas dos dois intervalos.
  1. Primeiro Intervalo ( a ):
A diferença entre as curvas é .
A integral para a área é:
Integrando:
Calculando os limites:
  1. Segundo Intervalo ( a ):
A diferença entre as curvas é .
A integral para a área é:
Integrando:
Calculando os limites:

Resposta

Somando as áreas dos dois intervalos:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas e no intervalo de a é:

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