Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b)
onde
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função
no intervalo
usando o método da posição falsa, também conhecido como método de regula falsi. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método e aplicar alguns passos de cálculo até chegar na resposta com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma raiz de uma função. A raiz de
é o valor de
que faz
. Ou seja, queremos encontrar
tal que:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o método da posição falsa. Esse método é usado para encontrar raízes de funções que mudam de sinal em um intervalo
. A ideia é usar uma linha reta para aproximar a função e encontrar onde essa linha cruza o eixo
, esse ponto é a nova aproximação da raiz.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se há uma mudança de sinal no intervalo
. Calculamos
e
:
Como
, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do método da posição falsa para encontrar uma nova aproximação
:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Como
, a raiz está entre
e
. Então, atualizamos
para
.
Passo 7
Repetimos o processo com o novo intervalo
.
Calculamos
:
Calculamos
:
Agora,
. Atualizamos
para
.
Passo 8
Continuamos o processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Após algumas iterações, chegamos em um valor aproximado de
que satisfaz
. Por exemplo:
Resposta
A raiz aproximada da função
no intervalo
utilizando o método da posição falsa é
.