Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b) g(x) = x^3 - 9x + 3 onde I = [0, 1] e epsilon = 10^(-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função no intervalo usando o método da posição falsa, também conhecido como método de regula falsi. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método e aplicar alguns passos de cálculo até chegar na resposta com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma raiz de uma função. A raiz de é o valor de que faz . Ou seja, queremos encontrar tal que:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o método da posição falsa. Esse método é usado para encontrar raízes de funções que mudam de sinal em um intervalo . A ideia é usar uma linha reta para aproximar a função e encontrar onde essa linha cruza o eixo , esse ponto é a nova aproximação da raiz.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se há uma mudança de sinal no intervalo . Calculamos e :
Como , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do método da posição falsa para encontrar uma nova aproximação :
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, calculamos :
Como , a raiz está entre e . Então, atualizamos para .

Passo 7

Repetimos o processo com o novo intervalo .
Calculamos :
Calculamos :
Agora, . Atualizamos para .

Passo 8

Continuamos o processo até que a diferença entre e seja menor que .
Após algumas iterações, chegamos em um valor aproximado de que satisfaz . Por exemplo:

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo utilizando o método da posição falsa é .

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