Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
(iv)
Passo 1
Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. O enunciado é:
Vamos resolver essa equação usando equações diferenciais lineares. Precisamos reorganizar a equação para a forma padrão, encontrar um fator integrante e, por fim, usar a condição inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por
(já que
):
Aqui identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada completa.
Passo 5
Reescrevemos o lado esquerdo como a derivada de um produto:
Isso facilita a integração na próxima etapa.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos integração por partes. Seja:
-
então -
então
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Passo 8
Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
.
Resposta
A solução do PVI é: