Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
t y' + (t + 1) y = t
ty' + (t + 1)y = t, y(ln 2) = 1, t > 0

Passo 1

Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. O enunciado é:
Vamos resolver essa equação usando equações diferenciais lineares. Precisamos reorganizar a equação para a forma padrão, encontrar um fator integrante e, por fim, usar a condição inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por (já que ):
Aqui identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada completa.

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como a derivada de um produto:
Isso facilita a integração na próxima etapa.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso resulta em:

Passo 7

Para resolver a integral , usamos integração por partes. Seja:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 8

Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos :

Passo 9

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Sabemos que , então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, .

Resposta

A solução do PVI é:

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