Encontre a solução do PVI dado.
(v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) que nos pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem. Especificamente, queremos encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial para . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos todos os termos por (já que ):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, usamos a técnica de integração por partes:
Portanto:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que e , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto:

Resposta

A solução do PVI é:

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Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
Encontre a solução do PVI dado.
(i)
Em cada item determine se a função dada é solução da EDO dada.
(iii) .
Em cada item determine se a função dada é solução da EDO dada.
(i) .