Encontre a solução dos PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação. Isso significa que vamos resolver a equação sem o termo do lado direito. A equação homogênea correspondente é:

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é formada substituindo por , onde é uma constante. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

As raízes são complexas: e . Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Aplicando nossos valores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:

Passo 7

Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos de e :
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes das funções e devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos o sistema:
Resolvendo o primeiro da equação, . Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 9

Agora que temos e , a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiramente, para :
Então,

Passo 12

Agora, derivamos para encontrar :
Simplificando:
Aplicando :
Substituindo :

Passo 13

Agora que temos e , substituímos na solução geral:
Podemos simplificar os coeficientes:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Questão 3 Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo fornecido.
a)
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes: tsent, ,
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes: