Encontre a solução dos PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação. Isso significa que vamos resolver a equação sem o termo do lado direito. A equação homogênea correspondente é:
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é formada substituindo
por
, onde
é uma constante. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
As raízes são complexas:
e
. Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Aplicando nossos valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Passo 7
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes das funções
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos o sistema:
Resolvendo o primeiro da equação,
. Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 9
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiramente, para
:
Então,
Passo 12
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando
:
Substituindo
:
Passo 13
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Podemos simplificar os coeficientes:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Questão 3 Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
fornecido.
a)
a)
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes:
tsent,
,
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes: