Questão 3 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta fornecido.
a) f(x, y) = x^2 y^3 - y^4, (2, 1), θ = pi/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada direcional! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção indicada pelo ângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor de direção a partir do ângulo . Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para obter as componentes do vetor unitário na direção desse ângulo:
Substituindo :

Passo 4

A derivada direcional de na direção do vetor é calculada pelo produto escalar (dot product) entre o gradiente de e o vetor de direção . A fórmula é:

Passo 5

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto :
Agora, calculamos a derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

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