Questão 3 Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
fornecido.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada direcional! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
e na direção indicada pelo ângulo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor de direção a partir do ângulo
. Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para obter as componentes do vetor unitário na direção desse ângulo:
Substituindo
:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção do vetor
é calculada pelo produto escalar (dot product) entre o gradiente de
e o vetor de direção
. A fórmula é:
Passo 5
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
:
Agora, calculamos a derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.
Exercícios relacionados
Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
b)
b)
(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução dos PVI