Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes:
. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Aqui, temos:
Nossa equação está na forma padrão:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão. O resultado dessa integral é:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes:
tsent,
,
Encontre a solução dos PVI
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (a)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (e)