Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes: . Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Aqui, temos:
Nossa equação está na forma padrão:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
No nosso caso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão. O resultado dessa integral é:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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