Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. O enunciado nos dá a equação
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso ajuda a entender a estrutura geral da solução.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando:
Passo 9
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema:
Passo 10
Resolvemos o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 11
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Questão 3 Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
fornecido.
a)
a)
Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
b)
b)
Encontre a solução dos PVI
Resolva equaçõoes linear com coeficientes constantes:
tsent,
,