Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. O enunciado nos dá a equação . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso ajuda a entender a estrutura geral da solução.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são complexas: .

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Agrupando os termos de e :
Simplificando:

Passo 9

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema:

Passo 10

Resolvemos o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 11

Com os valores de e , a solução particular é:

Resposta

A solução particular para a equação diferencial dada é:

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a)
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