Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVIS) que envolve uma equação diferencial. A questão nos pede para encontrar a solução da equação, determinar o intervalo em que essa solução é válida e fazer um gráfico no GeoGebra. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais usando métodos de substituição e valores iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação que pode ser resolvida usando a substituição
, onde
é uma função de
. Essa técnica é útil quando a equação é homogênea, ou seja, quando todos os termos têm o mesmo grau.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, o que implica que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Isso nos dá uma nova forma da derivada que podemos usar na equação original.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando os termos, ficamos com:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis:
Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, simplificamos a expressão do lado esquerdo.
Passo 7
Simplificando a fração do lado esquerdo:
Podemos reescrever o numerador para facilitar a integração:
Mas para facilitar, vamos fazer a divisão direta:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando substituição. Observamos que a derivada do denominador
é
, que aparece proporcionalmente no numerador.
Passo 9
Vamos fazer a substituição:
Mas notamos que:
Então, a integral fica:
Substituindo
de volta:
Passo 10
Agora, integramos o lado direito:
Igualando as duas integrais:
Passo 11
Vamos resolver para
:
Onde
é uma constante. Podemos reescrever isso como:
Onde
é uma nova constante.
Passo 12
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Passo 13
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a equação da solução é:
Passo 14
Portanto, a solução do PVIS é a curva definida por:
O intervalo de validade depende dos valores de
para os quais a solução é definida, que nesse caso é para todos os
diferentes de 0, já que dividimos por
durante a resolução.
Resposta
A solução do PVIS é
, válida para todos os
. O gráfico dessa solução pode ser plotado no GeoGebra utilizando a equação implícita
.
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Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
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