Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVIS) que envolve uma equação diferencial. A questão nos pede para encontrar a solução da equação, determinar o intervalo em que essa solução é válida e fazer um gráfico no GeoGebra. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais usando métodos de substituição e valores iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação que pode ser resolvida usando a substituição , onde é uma função de . Essa técnica é útil quando a equação é homogênea, ou seja, quando todos os termos têm o mesmo grau.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , o que implica que . Agora, vamos derivar em relação a :
Isso nos dá uma nova forma da derivada que podemos usar na equação original.

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando os termos, ficamos com:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Simplificando o lado direito:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis:
Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, simplificamos a expressão do lado esquerdo.

Passo 7

Simplificando a fração do lado esquerdo:
Podemos reescrever o numerador para facilitar a integração:
Mas para facilitar, vamos fazer a divisão direta:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando substituição. Observamos que a derivada do denominador é , que aparece proporcionalmente no numerador.

Passo 9

Vamos fazer a substituição:
Mas notamos que:
Então, a integral fica:
Substituindo de volta:

Passo 10

Agora, integramos o lado direito:
Igualando as duas integrais:

Passo 11

Vamos resolver para :
Onde é uma constante. Podemos reescrever isso como:
Onde é uma nova constante.

Passo 12

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :

Passo 13

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a equação da solução é:

Passo 14

Portanto, a solução do PVIS é a curva definida por:
O intervalo de validade depende dos valores de para os quais a solução é definida, que nesse caso é para todos os diferentes de 0, já que dividimos por durante a resolução.

Resposta

A solução do PVIS é , válida para todos os . O gráfico dessa solução pode ser plotado no GeoGebra utilizando a equação implícita .

Exercícios relacionados

(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de para fora onde a temperatura é de . Após minuto o termômetro marca . (b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
(Reginaldo) Determine os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial tem uma única solução.
(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de para fora onde a temperatura é de . Após minuto o termômetro marca . (a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução: .