(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de
para fora onde a temperatura é de
. Após
minuto o termômetro marca
. (a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa descobrir como a temperatura que o termômetro está marcando muda com o tempo. O assunto aqui é Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto se aproxima da temperatura ambiente. Para resolver isso, vamos usar essa lei e as informações que temos sobre as temperaturas inicial, externa e a leitura após meio minuto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Em fórmula, isso fica:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo -
é a temperatura ambiente -
é uma constante positiva
Passo 3
Vamos integrar essa equação diferencial para achar a função
. Reescrevendo:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Onde
agora representa
, ainda uma constante.
Então, a função fica:
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
- No tempo
, a temperatura é :
Então, a função fica:
- Após
minuto, a temperatura é :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na função
:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A temperatura marcada no termômetro em função do tempo é:
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