(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de para fora onde a temperatura é de . Após minuto o termômetro marca . (a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa descobrir como a temperatura que o termômetro está marcando muda com o tempo. O assunto aqui é Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto se aproxima da temperatura ambiente. Para resolver isso, vamos usar essa lei e as informações que temos sobre as temperaturas inicial, externa e a leitura após meio minuto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Em fórmula, isso fica:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo
  • é a temperatura ambiente
  • é uma constante positiva

Passo 3

Vamos integrar essa equação diferencial para achar a função . Reescrevendo:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Onde agora representa , ainda uma constante.
Então, a função fica:

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que:
  1. No tempo , a temperatura é :
Então, a função fica:
  1. Após minuto, a temperatura é :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na função :
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A temperatura marcada no termômetro em função do tempo é:

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