(Reginaldo) Mostre que toda equação diferencial separável
g(y) dy/dx = f(x)
e também exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que toda equação diferencial separável, que tem a forma , também é uma equação exata. Isso envolve entender o que são equações separáveis e exatas. Vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais e das condições para uma equação ser exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Uma equação é separável se podemos escrever todos os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro. No caso, já está separada: .

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma é exata se existir uma função tal que e . Além disso, deve satisfazer a condição .

Passo 4

Vamos reescrever a nossa equação separável na forma . Temos:
Aqui, e .

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição para exatidão:
Como , a condição para a equação ser exata é satisfeita.

Passo 6

Como a condição de exatidão é atendida, concluímos que toda equação diferencial separável também é uma equação exata.

Resposta

Portanto, mostramos que toda equação diferencial separável é também exata.

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