(Reginaldo) Mostre que toda equação diferencial separável
e também exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que toda equação diferencial separável, que tem a forma
, também é uma equação exata. Isso envolve entender o que são equações separáveis e exatas. Vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais e das condições para uma equação ser exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Uma equação é separável se podemos escrever todos os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. No caso, já está separada:
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se existir uma função
tal que
e
. Além disso, deve satisfazer a condição
.
Passo 4
Vamos reescrever a nossa equação separável na forma
. Temos:
Aqui,
e
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição para exatidão:
Como
, a condição para a equação ser exata é satisfeita.
Passo 6
Como a condição de exatidão é atendida, concluímos que toda equação diferencial separável
também é uma equação exata.
Resposta
Portanto, mostramos que toda equação diferencial separável
é também exata.
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