(Reginaldo) Determine os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais pontos o problema de valor inicial
tem uma solução única. A matéria que estamos usando aqui é a Teoria de Existência e Unicidade para Equações Diferenciais Ordinárias. Vamos precisar analisar a função e ver onde ela, e sua derivada em relação a , são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Para que essa função seja real e definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que:
Isso significa que e devem ter o mesmo sinal ou pelo menos um deles ser zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade de e da sua derivada parcial em relação a . A derivada de em relação a é:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero, ou seja, deve ser positivo:
Então, e devem ser ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 4

Resumindo, para garantir que a função e sua derivada parcial em relação a sejam contínuas, precisamos que:
Isso significa que os pontos onde e têm o mesmo sinal são os que garantem uma solução única para o problema de valor inicial.

Resposta

Os pontos onde e são ambos positivos ou ambos negativos, isto é, onde , garantem que o problema de valor inicial tem uma única solução.

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