(Reginaldo) Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
© Se
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais pontos
o problema de valor inicial
tem uma solução única. A matéria que estamos usando aqui é a Teoria de Existência e Unicidade para Equações Diferenciais Ordinárias. Vamos precisar analisar a função
e ver onde ela, e sua derivada em relação a
, são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Para que essa função seja real e definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que:
Isso significa que
e
devem ter o mesmo sinal ou pelo menos um deles ser zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade de
e da sua derivada parcial em relação a
. A derivada de
em relação a
é:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero, ou seja,
deve ser positivo:
Então,
e
devem ser ambos positivos ou ambos negativos.
Passo 4
Resumindo, para garantir que a função
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas, precisamos que:
Isso significa que os pontos
onde
e
têm o mesmo sinal são os que garantem uma solução única para o problema de valor inicial.
Resposta
Os pontos
onde
e
são ambos positivos ou ambos negativos, isto é, onde
, garantem que o problema de valor inicial tem uma única solução.