Encontre a solução da seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais do tipo
:
No nosso caso,
e
, então:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação onde estávamos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.