Encontre a solução da seguinte equação:
d yd x+2 y=4 sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
d yd x + 2 y = 4 sin (x)
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ) é dado por:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
e^2x cdot d yd x + e^2x cdot 2 y = e^2x cdot 4 sin(x)
Isso simplifica para:
dd x ( e^2x y ) = 4 e^2x sin(x)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar integral dd x ( e^2x y ) dx = integral 4 e^2x sin(x) dx :
e^2x y = 4 integral e^2x sin(x) dx + C
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^ax sin(bx) dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais do tipo integral e^2x sin(x) dx = e^2x2^2 + 1^2 (2 sin(x) - 1 cos(x)) + C :
integral e^2x sin(x) dx = e^2x5 (2 sin(x) - cos(x)) + C
No nosso caso, e , então:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à equação onde estávamos:
e^2x y = 4 ( e^2x5 (2 sin(x) - cos(x)) ) + C
Simplificando:
e^2x y = 4 e^2x5 (2 sin(x) - cos(x)) + C

Passo 8

Agora, isolamos y = 45 (2 sin(x) - cos(x)) + C e^-2x dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 45 ( 2 sin(x) - cos(x) ) + C e^-2x
Onde é uma constante arbitrária.

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