Encontre a solução da seguinte equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais do tipo :
No nosso caso, e , então:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à equação onde estávamos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
Verifique se a equação é exata, onde e . Resolva a equação.
Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha: sentido contrário ao de e cinco vezes o módulo de ;