Mostre que o centro de gravidade
de um triângulo
o divide em três triângulos
e
de mesma área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o centro de gravidade
de um triângulo
divide o triângulo em três triângulos menores (
,
e
) que têm a mesma área. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao centro de gravidade e áreas de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de gravidade
de um triângulo. O centro de gravidade, também chamado de centróide, é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Uma mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. O centróide divide cada mediana na proporção de 2:1, contando a partir do vértice.
Passo 3
Agora, vamos considerar as três medianas do triângulo
que se encontram no centro de gravidade
. Essas medianas dividem o triângulo original em seis pequenos triângulos. No entanto, estamos interessados apenas nas três regiões formadas pelas medianas principais:
,
e
.
Passo 4
Sabendo que o centróide divide cada mediana na proporção de 2:1, podemos afirmar que cada uma dessas três áreas menores (
,
e
) ocupa exatamente um terço da área total do triângulo
. Isso acontece porque a proporção 2:1 garante que as áreas sejam igualmente distribuídas.
Passo 5
Para confirmar, vamos calcular as áreas. Se
é a área total de
, então cada uma das três partes menores terá uma área de
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que o centro de gravidade
divide o triângulo
em três triângulos
,
e
de mesma área, cada um correspondendo a um terço da área total do triângulo original.