Mostre que o centro de gravidade de um triângulo o divide em três triângulos e de mesma área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o centro de gravidade de um triângulo divide o triângulo em três triângulos menores ( , e ) que têm a mesma área. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao centro de gravidade e áreas de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de gravidade de um triângulo. O centro de gravidade, também chamado de centróide, é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Uma mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. O centróide divide cada mediana na proporção de 2:1, contando a partir do vértice.

Passo 3

Agora, vamos considerar as três medianas do triângulo que se encontram no centro de gravidade . Essas medianas dividem o triângulo original em seis pequenos triângulos. No entanto, estamos interessados apenas nas três regiões formadas pelas medianas principais: , e .

Passo 4

Sabendo que o centróide divide cada mediana na proporção de 2:1, podemos afirmar que cada uma dessas três áreas menores ( , e ) ocupa exatamente um terço da área total do triângulo . Isso acontece porque a proporção 2:1 garante que as áreas sejam igualmente distribuídas.

Passo 5

Para confirmar, vamos calcular as áreas. Se é a área total de , então cada uma das três partes menores terá uma área de . Portanto:
ÁÁÁ

Resposta

Assim, mostramos que o centro de gravidade divide o triângulo em três triângulos , e de mesma área, cada um correspondendo a um terço da área total do triângulo original.

Exercícios relacionados

Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
Dados os vetores e , calcular:
Encontre a solução da seguinte equação:
Verifique se a equação é exata, onde e . Resolva a equação.