Se r(s) for uma função vetorial lisa parametrizada pelo comprimento de arco s, então
||dr/ds|| =
\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1
e o comprimento de arco do gráfico de r ao longo do intervalo a <= s <= b é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função vetorial lisa que é parametrizada pelo comprimento de arco . Queremos encontrar duas coisas:
  1. O valor de .
  2. O comprimento de arco do gráfico de no intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrização por comprimento de arco e propriedades de funções vetoriais lisas.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro pedido: encontrar .
Quando uma curva é parametrizada pelo comprimento de arco , isso significa que a derivada da posição em relação a tem norma igual a 1. Em outras palavras:
Isso ocorre porque, ao usar o comprimento de arco como parâmetro, estamos basicamente medindo a distância ao longo da curva de forma que cada pequeno incremento em corresponde exatamente a um pequeno deslocamento na curva.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo pedido: calcular o comprimento de arco do gráfico de no intervalo .
Como a curva está parametrizada pelo comprimento de arco, o comprimento total da curva entre e é simplesmente a diferença entre esses dois valores. Ou seja:
Isso porque, novamente, ao usar como parâmetro, cada unidade de corresponde a uma unidade de comprimento ao longo da curva.

Resposta

Portanto:
e o comprimento de arco do gráfico de no intervalo é .

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