Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
d y/d x = sex(5 x)
Resp: y = -1/5 cos(5 x) + c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos isolar as variáveis e de cada lado da equação. Vamos precisar integrar ambos os lados para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Como a derivada de em relação a é igual a , podemos escrever:
Isso significa que o diferencial de é igual a multiplicado pelo diferencial de .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar . A ideia é encontrar uma função cuja derivada seja .
Integrando os dois lados:
A integral de em relação a é simplesmente . Já a integral de é um pouco mais trabalhosa, mas sabemos que:
onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração:
Aqui, substituímos por 5, pois a função é .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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