Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto x0 = 0 :
b) y'' + sen(x) y' = e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial não homogênea usando séries de potências em torno de . Isso significa que vamos expandir todas as funções envolvidas em potências de e achar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos da forma , onde são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é expressar , e nessa forma.

Passo 3

Vamos supor que a solução pode ser escrita como:
Derivando termo a termo, temos:

Passo 4

Agora, precisamos expandir . Sabemos que a série de Taylor para é:
Multiplicando por :
Isso resulta em uma convoluç��o das séries.

Passo 5

Substituindo todas as séries na equação diferencial:
Vamos reorganizar os índices para que todas as somas comecem de :

Passo 6

Para igualar os coeficientes das potências de , ajustamos os índices e comparamos cada coeficiente:
Isso nos dá uma relação de recorrência para encontrar os coeficientes :

Passo 7

Com a relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes começando de e , que geralmente são determinados pelas condições iniciais. Se não tivermos condições iniciais, assumimos e como constantes arbitrárias.
Finalmente, a solução em série de potências é:

Resposta

A solução em séries de potências da equação diferencial dada em torno de é
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias.

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