Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto
:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial não homogênea
usando séries de potências em torno de
. Isso significa que vamos expandir todas as funções envolvidas em potências de
e achar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos da forma
, onde
são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é expressar
,
e
nessa forma.
Passo 3
Vamos supor que a solução
pode ser escrita como:
Derivando termo a termo, temos:
Passo 4
Agora, precisamos expandir
. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Multiplicando
por
:
Isso resulta em uma convoluç��o das séries.
Passo 5
Substituindo todas as séries na equação diferencial:
Vamos reorganizar os índices para que todas as somas comecem de
:
Passo 6
Para igualar os coeficientes das potências de
, ajustamos os índices e comparamos cada coeficiente:
Isso nos dá uma relação de recorrência para encontrar os coeficientes
:
Passo 7
Com a relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes
começando de
e
, que geralmente são determinados pelas condições iniciais. Se não tivermos condições iniciais, assumimos
e
como constantes arbitrárias.
Finalmente, a solução em série de potências é:
Resposta
A solução em séries de potências da equação diferencial dada em torno de
é
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
com
e
sendo constantes arbitrárias.