Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace e inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, , se:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace para funções polinomiais, que é , onde é um número inteiro positivo.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que se você tem uma combinação linear de funções, como , a transformada de Laplace dessa combinação é igual a .

Passo 3

Aplicando a linearidade, vamos separar a transformada de cada termo da função :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada transformada individualmente usando a propriedade dada:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para (constante):
    A transformada de Laplace de uma constante é . Então,

Passo 5

Agora, substituímos essas transformadas na expressão original:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto :
b)
Utilizando a propriedade da transformada
Determine:
a)
Find by implicit differentiation.