Resolva as seguintes equações:
(e) y(y^2 + 1) dx = x dy

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Dividindo ambos os lados por e por , ficamos com:
Isso facilita a integração porque agora temos de um lado e do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é . Do outro lado, precisamos integrar . Para isso, podemos usar frações parciais.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para , e , descobrimos que , e . Então,
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados, ficamos com:
Podemos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver em termos de ou , dependendo do que for solicitado.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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