Resolva as seguintes equações:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Dividindo ambos os lados por
e por
, ficamos com:
Isso facilita a integração porque agora temos
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
. Do outro lado, precisamos integrar
. Para isso, podemos usar frações parciais.
Passo 4
Vamos decompor
em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, descobrimos que
,
e
. Então,
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados, ficamos com:
Podemos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver em termos de
ou
, dependendo do que for solicitado.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.