Encontre a solução
da equação de Laplace na região semicircular
, satisfazendo às condições de fronteira
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma solução
para a equação de Laplace na região semicircular onde
e
. Isso envolve entender equações diferenciais parciais, especialmente a equação de Laplace em coordenadas polares. Vamos usar técnicas de separação de variáveis para resolver isso. Além disso, vamos precisar aplicar as condições de fronteira que nos foram dadas para determinar os coeficientes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Laplace em coordenadas polares:
A gente vai procurar uma solução que separe em duas partes, uma só depende de
e outra só de
. Ou seja, vamos assumir que
.
Passo 3
Substituindo
na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui, cada termo depende de variáveis diferentes, então a gente pode igualar cada parte a uma constante
.
Passo 4
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
A primeira é uma equação diferencial ordinária para
, e a segunda para
.
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
A solução geral depende de
. Para que
seja periódica e satisfaça as condições de fronteira
e
,
deve ser
, onde
é um inteiro positivo. Então, as soluções são:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para
com
:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, cuja solução geral é:
Mas como estamos considerando
, o termo
não faz sentido físico (ele fica infinito quando
tende a 0). Então, descartamos
, e a solução fica:
Passo 7
Portanto, a solução geral
pode ser escrita como uma soma infinita das soluções separadas:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição de fronteira na borda
, onde
:
Isso é uma série de Fourier senoidal. Precisamos encontrar os coeficientes
para representar
nessa base de funções ímpares (
).
Passo 9
Vamos calcular os coeficientes
usando a fórmula de Fourier para funções em
:
Simplificando para
:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 10
Após calcular os coeficientes
, substituímos de volta na série:
Isso proporciona a solução completa para a equação de Laplace na região semicircular com as condições de fronteira dadas.
Resposta
A solução
da equação de Laplace na região semicircular
,
, com as condições de fronteira especificadas é dada pela série: