Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: y' + 2/x * y = y^3/x^3, v = y^(-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A matéria aqui é sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vamos precisar usar uma mudança de variável que foi sugerida: . Essa técnica ajuda a simplificar a equação para algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Então, substituímos e na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Podemos multiplicar todos os termos por para eliminar os denominadores:
Isso transforma nossa equação em uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial linear . Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por para resolver para :

Passo 6

Lembre-se que fizemos a substituição . Agora, substituímos de volta para encontrar :
Invertendo para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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