Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = e^x + y, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o problema. A gente tem uma equação diferencial da forma com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Picard, que é uma técnica iterativa para resolver equações diferenciais. A gente vai precisar aplicar esse método para chegar até a quarta aproximação da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Picard. A ideia é começar com uma função inicial, geralmente a condição inicial, e então usar a equação diferencial para gerar uma sequência de aproximações. A fórmula geral é:
Aqui, é a condição inicial, que no nosso caso é .

Passo 3

Vamos começar a aplicar o método. Nossa condição inicial é . Agora, vamos calcular a primeira aproximação :
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, usamos para encontrar :
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos para a terceira aproximação :
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a quarta aproximação :
Simplificando:
Calculando a integral:

Resposta

A quarta aproximação da solução usando o método de Picard é:

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