Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema. A gente tem uma equação diferencial da forma
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Picard, que é uma técnica iterativa para resolver equações diferenciais. A gente vai precisar aplicar esse método para chegar até a quarta aproximação da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Picard. A ideia é começar com uma função inicial, geralmente a condição inicial, e então usar a equação diferencial para gerar uma sequência de aproximações. A fórmula geral é:
Aqui,
é a condição inicial, que no nosso caso é
.
Passo 3
Vamos começar a aplicar o método. Nossa condição inicial é
. Agora, vamos calcular a primeira aproximação
:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, usamos
para encontrar
:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos para a terceira aproximação
:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a quarta aproximação
:
Simplificando:
Calculando a integral:
Resposta
A quarta aproximação da solução usando o método de Picard é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Encontre a solução
da equação de Laplace na região semicircular
, satisfazendo às condições de fronteira
onde
.
Considere as seguintes afirmações:
Se um elemento não pertence à união de e
, então esse elemento não pertence a
e não pertence a
.
Se um elemento não pertence à união de
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau: