Utilize o método de separaçāo de variáveis para determinar as equaçōes diferenciais ordinárias que separam as variáveis da equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa usar o método de separação de variáveis para resolver uma equação diferencial parcial que envolve derivadas em relação a
e
. Nosso objetivo é encontrar equações diferenciais ordinárias (ODEs) que separam essas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como assumir que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções separadas: uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja,
Essa é a base do método de separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação diferencial dada.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos dividir toda a equação por
para separar as variáveis:
Perceba que os termos que envolvem
estão apenas com funções de
e o termo que envolve
está apenas com funções de
. Para que isso seja verdade para todos os valores de
e
, cada parte deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Assim, podemos escrever duas equações:
- Para a parte que envolve
:
- Para a parte que envolve
:
Passo 6
Simplificando, temos as equações diferenciais ordinárias separadas:
- Equação para
:
- Equação para
:
Resposta
As equações diferenciais ordinárias que separam as variáveis são:
e
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