Utilize o método de separaçāo de variáveis para determinar as equaçōes diferenciais ordinárias que separam as variáveis da equação:
partial^2 u(r, theta)partial r^2+1r partial u(r, theta)partial r+1r^2 partial u(r, theta)partial theta=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa usar o método de separação de variáveis para resolver uma equação diferencial parcial que envolve derivadas em relação a e . Nosso objetivo é encontrar equações diferenciais ordinárias (ODEs) que separam essas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como assumir que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(r, theta) = R(r) cdot Theta(theta) pode ser escrita como o produto de duas funções separadas: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja,
Essa é a base do método de separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação diferencial dada.

Passo 3

Substituindo partial^2 upartial r^2 + 1r partial upartial r + 1r^2 partial upartial theta = 0 na equação original:
partial upartial r = R'(r) Theta(theta)
Calculando as derivadas:
partial^2 upartial r^2 = R''(r) Theta(theta)
partial upartial theta = R(r) Theta'(theta)
R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta'(theta) = 0
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos dividir toda a equação por R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) + 1r^2 Theta'(theta)Theta(theta) = 0 para separar as variáveis:
Perceba que os termos que envolvem estão apenas com funções de e o termo que envolve está apenas com funções de . Para que isso seja verdade para todos os valores de e , cada parte deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Assim, podemos escrever duas equações:
  1. Para a parte que envolve Theta'(theta)Theta(theta) = -n^2 :
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
  1. Para a parte que envolve :

Passo 6

Simplificando, temos as equações diferenciais ordinárias separadas:
  1. Equação para Theta''(theta) + n^2 Theta(theta) = 0 :
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
  1. Equação para :

Resposta

As equações diferenciais ordinárias que separam as variáveis são:
Theta''(theta) + n^2 Theta(theta) = 0
e
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0

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