Utilize o método de separaçāo de variáveis para determinar as equaçōes diferenciais ordinárias que separam as variáveis da equação:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa usar o método de separação de variáveis para resolver uma equação diferencial parcial que envolve derivadas em relação a e . Nosso objetivo é encontrar equações diferenciais ordinárias (ODEs) que separam essas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como assumir que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja,
Essa é a base do método de separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação diferencial dada.

Passo 3

Substituindo na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos dividir toda a equação por para separar as variáveis:
Perceba que os termos que envolvem estão apenas com funções de e o termo que envolve está apenas com funções de . Para que isso seja verdade para todos os valores de e , cada parte deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Assim, podemos escrever duas equações:
  1. Para a parte que envolve :
  1. Para a parte que envolve :

Passo 6

Simplificando, temos as equações diferenciais ordinárias separadas:
  1. Equação para :
  1. Equação para :

Resposta

As equações diferenciais ordinárias que separam as variáveis são:
e

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