Encontre as soluçōes fundamentais do problema de Dirichlet na regiāo exterior ao círculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Dirichlet na região exterior a um círculo. A equação que temos é a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Nossa tarefa é encontrar as soluções fundamentais que satisfazem a condição de contorno . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas, uma só de e outra só de :
Essa é a ideia central da separação de variáveis, onde tentamos dividir a equação original em partes que dependem somente de e somente de .
Passo 3
Agora, vamos substituir na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver a equação para . Como é um ângulo, a solução deve ser periódica com período . Isso implica que , onde é um inteiro não negativo.
Então, a solução para é:
Agora, resolvemos a equação para com :
Essa é a Equação de Euler-Cauchy, cuja solução geral é:
Como estamos na região exterior ao círculo () e queremos que a solução não fique infinita quando tende ao infinito, descartamos o termo . Portanto, a solução para é:
Passo 5
Combinando as soluções de e , temos a solução geral para cada modo :
Para obter a solução completa, somamos todos os modos possíveis :
Aqui, é a parte constante da solução.
Resposta
As soluções fundamentais do problema de Dirichlet na região exterior ao círculo são dadas por:
onde , e são constantes determinadas pela condição de contorno .