Encontre as soluçōes fundamentais do problema de Dirichlet na regiāo exterior ao círculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Dirichlet na região exterior a um círculo. A equação que temos é a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Nossa tarefa é encontrar as soluções fundamentais que satisfazem a condição de contorno
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções separadas, uma só de
e outra só de
:
Essa é a ideia central da separação de variáveis, onde tentamos dividir a equação original em partes que dependem somente de
e somente de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
. Como
é um ângulo, a solução deve ser periódica com período
. Isso implica que
, onde
é um inteiro não negativo.
Então, a solução para
é:
Agora, resolvemos a equação para
com
:
Essa é a Equação de Euler-Cauchy, cuja solução geral é:
Como estamos na região exterior ao círculo (
) e queremos que a solução não fique infinita quando
tende ao infinito, descartamos o termo
. Portanto, a solução para
é:
Passo 5
Combinando as soluções de
e
, temos a solução geral para cada modo
:
Para obter a solução completa, somamos todos os modos possíveis
:
Aqui,
é a parte constante da solução.
Resposta
As soluções fundamentais do problema de Dirichlet na região exterior ao círculo são dadas por:
onde
,
e
são constantes determinadas pela condição de contorno
.