Encontre as soluçōes fundamentais do problema de Dirichlet na regiāo exterior ao círculo:
l partial^2 upartial partial^2+1r^2 partial^2 upartial theta^2+11 partial upartial r=0 u(a, theta)=f(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Dirichlet na região exterior a um círculo. A equação que temos é a Equação de Laplace em coordenadas polares:
partial^2 upartial r^2 + 1r partial upartial r + 1r^2 partial^2 upartial theta^2 = 0
Nossa tarefa é encontrar as soluções fundamentais que satisfazem a condição de contorno . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(r, theta) = R(r) Theta(theta) pode ser escrita como o produto de duas funções separadas, uma só de e outra só de :
Essa é a ideia central da separação de variáveis, onde tentamos dividir a equação original em partes que dependem somente de e somente de .

Passo 3

Agora, vamos substituir R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta''(theta) = 0 na equação de Laplace:
R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) + 1r^2 Theta''(theta)Theta(theta) = 0
Dividindo ambos os lados por r^2 ( R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) ) = - Theta''(theta)Theta(theta) = lambda , obtemos:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
r^2 R''(r) + r R'(r) - lambda R(r) = 0
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver a equação para Theta(theta) = A cos(ntheta) + B sin(ntheta) . Como r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0 é um ângulo, a solução deve ser periódica com período R(r) = C r^n + D r^-n . Isso implica que R(r) = D r^-n , onde é um inteiro não negativo.
Então, a solução para é:
Agora, resolvemos a equação para com :
Essa é a Equação de Euler-Cauchy, cuja solução geral é:
Como estamos na região exterior ao círculo ( ) e queremos que a solução não fique infinita quando tende ao infinito, descartamos o termo . Portanto, a solução para é:

Passo 5

Combinando as soluções de un(r, theta) = ( An r^-n cos(ntheta) + Bn r^-n sin(ntheta) ) e u(r, theta) = A0 + sumn=1^infty ( An r^-n cos(ntheta) + Bn r^-n sin(ntheta) ) , temos a solução geral para cada modo :
Para obter a solução completa, somamos todos os modos possíveis :
Aqui, é a parte constante da solução.

Resposta

As soluções fundamentais do problema de Dirichlet na região exterior ao círculo são dadas por:
u(r, theta) = A0 + sumn=1^infty ( An r^-n cos(ntheta) + Bn r^-n sin(ntheta) )
onde , e são constantes determinadas pela condição de contorno .

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