Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no semicírculo de raio :
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num semicírculo de raio . Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial com certas condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e entender um pouco sobre equações de Laplace em coordenadas polares.
Essa é a Equação de Laplace em coordenadas polares. Ela descreve como uma função se comporta em um domínio circular ou semicircular.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que na borda do semicírculo (onde ), a função assume um valor dado pela função , e ao longo dos ângulos e , a função é zero.
Passo 4
Vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(r, theta) = R(r) Theta(theta) e outra que depende apenas de R''(r)Theta(theta) + 1r^2 R(r)Theta''(theta) + 1r R'(r)Theta(theta) = 0 :
Substituindo isso na equação de Laplace:
Passo 5
Dividimos ambos os lados por R''(r)R(r) + 1r^2 Theta''(theta)Theta(theta) + 1r R'(r)R(r) = 0 :
r^2 R''(r) + r R'(r)R(r) = -Theta''(theta)Theta(theta)
Rearranjando:
O lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de . Para que a igualdade seja válida para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos .
Passo 6
Então, temos duas equações:
Para Theta''(theta) + n^2 Theta(theta) = 0 :
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
Para :
Passo 7
Vamos resolver a equação para Theta''(theta) + n^2 Theta(theta) = 0 :
Theta(theta) = A cos(ntheta) + B sin(ntheta)
A solução geral dessa equação é:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação de r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0 :
R(r) = C r^n + D r^-n
Essa é uma Equação de Euler-Cauchy. A solução geral é:
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação de Laplace no semicírculo é:
u(r, theta) = (C r^n + D r^-n)(A cos(ntheta) + B sin(ntheta))
Passo 10
Aplicando as condições de contorno u(r, 0) = (C r^n + D r^-n)A = 0 e u(r, pi) = (C r^n + D r^-n)B sin(npi) = 0 :
Para :
Isso implica que .
Para :
Como para todo inteiro , essa condição já está satisfeita.
Passo 11
Então, a solução reduz para:
u(r, theta) = (C r^n + D r^-n) sin(ntheta)
Passo 12
Agora, aplicamos a condição de contorno u(a, theta) = (C a^n + D a^-n) sin(ntheta) = f(theta) :
Isso sugere que pode ser expandida em uma série de Fourier em termos de , e os coeficientes e são determinados de acordo.
Passo 13
Assim, as soluções fundamentais são da forma:
un(r, theta) = ( r^n - r^-n ) sin(ntheta)
Resposta
As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no semicírculo de raio un(r, theta) = ( r^n - r^-n ) sin(ntheta), n = 1, 2, 3, dots são: