Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no semicírculo de raio :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num semicírculo de raio . Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial com certas condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e entender um pouco sobre equações de Laplace em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a Equação de Laplace em coordenadas polares. Ela descreve como uma função se comporta em um domínio circular ou semicircular.

Passo 3

As condições de contorno são:
Isso significa que na borda do semicírculo (onde ), a função assume um valor dado pela função , e ao longo dos ângulos e , a função é zero.

Passo 4

Vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo isso na equação de Laplace:

Passo 5

Dividimos ambos os lados por :
Rearranjando:
O lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de . Para que a igualdade seja válida para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos .

Passo 6

Então, temos duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação de :
Essa é uma Equação de Euler-Cauchy. A solução geral é:

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação de Laplace no semicírculo é:

Passo 10

Aplicando as condições de contorno e :
Para :
Isso implica que .
Para :
Como para todo inteiro , essa condição já está satisfeita.

Passo 11

Então, a solução reduz para:

Passo 12

Agora, aplicamos a condição de contorno :
Isso sugere que pode ser expandida em uma série de Fourier em termos de , e os coeficientes e são determinados de acordo.

Passo 13

Assim, as soluções fundamentais são da forma:

Resposta

As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no semicírculo de raio são:

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