Resolva os sistemas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o enunciado trouxe. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem envolvendo duas funções, e . Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada, além de buscar uma solução particular devido ao termo constante presente na segunda equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais clara:

Passo 3

Agora, vamos representar o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação dos métodos de resolução:
Aqui, a matriz representa os coeficientes das variáveis e , e o vetor constante é o termo não homogêneo.

Passo 4

Vamos resolver a parte homogênea do sistema primeiro, ou seja, sem considerar o termo constante. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Calculando o determinante :
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Isso nos dá a relação . Então, um autovetor é .
Para :
Isso nos dá a relação . Então, um autovetor é .

Passo 6

A solução geral da parte homogênea é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo devido ao termo constante na segunda equação. Vamos assumir que a solução particular é constante, ou seja, não depende de :
Derivando, temos e . Substituindo na equação original:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então, .
Portanto, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral do sistema completo é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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