Faça a mudança de variáveis
na equação a seguir e descubra sua solução geral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP):
E precisamos fazer uma mudança de variável usando
e
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e álgebra linear pra mudar as variáveis e simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar como as derivadas parciais em relação a
e
se transformam em termos de
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.
As variáveis novas são:
Vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas necessárias para substituir na EDP original.
Primeiro,
:
De maneira similar, calculamos
e
.
Passo 5
Para simplificar, vamos montar a matriz Jacobiana das variáveis:
O determinante dessa matriz é
, o que significa que a mudança de variável é válida.
Passo 6
Substituindo as segundas derivadas na EDP original:
Depois de simplificar todos os termos, percebemos que a equação se torna mais simples em termos de
e
.
Passo 7
Após simplificar, obtemos uma equação que depende apenas de uma das novas variáveis, o que facilita encontrar a solução geral. Resolvendo essa equação simplificada, chegamos à solução geral da EDP original.
Resposta
A solução geral da equação é dada por:
onde
e
são funções arbitrárias de suas respectivas variáveis.