Faça a mudança de variáveis xi = -x - y, eta = 2x + y na equação a seguir e descubra sua solução geral:
u_xx - 4 u_xy + 4 u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP):
E precisamos fazer uma mudança de variável usando e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e álgebra linear pra mudar as variáveis e simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar como as derivadas parciais em relação a x e y se transformam em termos de xi e eta. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.
As variáveis novas são:
Vamos achar as derivadas parciais de u em relação a x e y usando a regra da cadeia.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas necessárias para substituir na EDP original.
Primeiro, :
De maneira similar, calculamos e .

Passo 5

Para simplificar, vamos montar a matriz Jacobiana das variáveis:
O determinante dessa matriz é , o que significa que a mudança de variável é válida.

Passo 6

Substituindo as segundas derivadas na EDP original:
Depois de simplificar todos os termos, percebemos que a equação se torna mais simples em termos de xi e eta.

Passo 7

Após simplificar, obtemos uma equação que depende apenas de uma das novas variáveis, o que facilita encontrar a solução geral. Resolvendo essa equação simplificada, chegamos à solução geral da EDP original.

Resposta

A solução geral da equação é dada por:
onde F e G são funções arbitrárias de suas respectivas variáveis.

Exercícios relacionados