Resolva os sistemas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. Estamos lidando com um sistema de equações lineares de primeira ordem, que geralmente envolve encontrar soluções que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. As equações dadas são:
Podemos representar isso como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos determinar os autovalores (valores próprios) da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular isso:
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para :
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 6

Com autovalores complexos, a solução geral do sistema será da forma:
Onde é a parte real do autovalor, é a parte imaginária, e são constantes.

Passo 7

No nosso caso, e . Precisamos agora encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores para construir a solução. Vamos pegar e resolver :
Simplificando:
Resolvendo essa equação, encontramos que o autovetor correspondente é proporcional a .

Passo 8

Substituindo esses valores na solução geral, temos:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais específicas.

Exercícios relacionados

Escreva o sistema sob a forma matricial e encontre sua solução geral.
Resolva:
Resolva os sistemas:
Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no semicírculo de raio :