Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e uma solução conhecida
. Nosso objetivo aqui é encontrar toda a solução dessa equação, ou seja, a solução geral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como usar uma solução conhecida para encontrar outra solução independente. Vamos usar o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
realmente é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de
e substituir na equação original.
Vamos calcular
e
:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Agora, substituindo
,
e
na equação:
Fazendo os cálculos, vemos que a equação é satisfeita, confirmando que
é realmente uma solução.
Passo 3
Agora que confirmamos que
é uma solução, vamos encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de
. Para isso, usamos o método de redução de ordem. A ideia é assumir que
, onde
é uma função que vamos descobrir.
Então, vamos escrever:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar
. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e substituir na equação original.
Calculando a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação diferencial e simplificando, acabamos com uma equação para
. Após simplificar, podemos resolver essa equação e encontrar que
é uma constante. Isso nos leva a uma solução
que não contém o termo
, garantindo que ela seja linearmente independente de
.
Passo 5
Resolvendo a equação para
, descobrimos que:
Assim, uma segunda solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
(a)
, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para
.
Encontre as soluções gerais, assumindo
Encontre as soluções gerais, assumindo