Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo e uma solução conhecida . Nosso objetivo aqui é encontrar toda a solução dessa equação, ou seja, a solução geral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como usar uma solução conhecida para encontrar outra solução independente. Vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que realmente é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de e substituir na equação original.
Vamos calcular e :
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Agora, substituindo , e na equação:
Fazendo os cálculos, vemos que a equação é satisfeita, confirmando que é realmente uma solução.

Passo 3

Agora que confirmamos que é uma solução, vamos encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente de . Para isso, usamos o método de redução de ordem. A ideia é assumir que , onde é uma função que vamos descobrir.
Então, vamos escrever:

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação original.
Calculando a primeira derivada de :
E a segunda derivada:
Substituindo , e na equação diferencial e simplificando, acabamos com uma equação para . Após simplificar, podemos resolver essa equação e encontrar que é uma constante. Isso nos leva a uma solução que não contém o termo , garantindo que ela seja linearmente independente de .

Passo 5

Resolvendo a equação para , descobrimos que:
Assim, uma segunda solução é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

(a) , use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para .
Encontre as soluções gerais, assumindo
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