Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada usando o método da variação de parâmetros. Além disso, como temos condições iniciais, vamos encontrar a solução específica do problema de valor inicial (PVI). Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares, a solução da equação homogênea associada e aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea, onde o termo à direita ( ) é conhecido como termo fonte.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a equação homogênea. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica:
Resolvendo para :
Isso significa que as soluções são funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. Esse método nos diz que se conhecemos a solução da equação homogênea, podemos encontrar assumindo que as constantes e são funções de :
Onde e são funções que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar e , precisamos derivar e usar a condição de que a derivada de deve satisfazer a equação diferencial original. Calculando as derivadas:
Aplicando essas derivadas na equação diferencial e simplificando, obtemos um sistema de equações para e .

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos que:
Integrando essas expressões:
Desconsideramos as constantes de integração porque já estão incluídas na solução homogênea.

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e :
Calculando :
Como , temos:
Então, .
Calculando :
Derivando :
Agora, substituindo :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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