Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada usando o método da variação de parâmetros. Além disso, como temos condições iniciais, vamos encontrar a solução específica do problema de valor inicial (PVI). Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares, a solução da equação homogênea associada e aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea, onde o termo à direita (
) é conhecido como termo fonte.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a equação homogênea. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções são funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. Esse método nos diz que se conhecemos a solução da equação homogênea, podemos encontrar
assumindo que as constantes
e
são funções de
:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos derivar
e usar a condição de que a derivada de
deve satisfazer a equação diferencial original. Calculando as derivadas:
Aplicando essas derivadas na equação diferencial
e simplificando, obtemos um sistema de equações para
e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos que:
Integrando essas expressões:
Desconsideramos as constantes de integração porque já estão incluídas na solução homogênea.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
:
Calculando
:
Como
, temos:
Então,
.
Calculando
:
Derivando :
Derivando
Agora, substituindo
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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e
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