Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes características da equação auxiliar:
Isso significa que as soluções gerais da equação homogênea são combinações lineares de e . Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as funções e como soluções da homogênea.

Passo 4

No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, e é o Wronskiano das soluções e .

Passo 6

Calculamos o Wronskiano :
Então, .

Passo 7

Agora, calculamos e :

Passo 8

Integrando :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar :

Passo 9

Agora, integramos :
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Ignorando a constante de integração para a solução particular:

Passo 10

Agora, substituímos e na expressão de :

Passo 11

Simplificamos a expressão de :

Passo 12

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 13

Por fim, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Para :
Para , calculamos a derivada de :
Aplicando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais e , é:

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