Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes características da equação auxiliar:
Isso significa que as soluções gerais da equação homogênea são combinações lineares de
e
. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método de variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as funções
e
como soluções da homogênea.
Passo 4
No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 5
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
e
é o Wronskiano das soluções
e
.
Passo 6
Calculamos o Wronskiano
:
Então,
.
Passo 7
Agora, calculamos
e
:
Passo 8
Integrando
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar
:
Passo 9
Agora, integramos
:
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Ignorando a constante de integração para a solução particular:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Passo 11
Simplificamos a expressão de
:
Passo 12
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Por fim, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Para
:
Para
, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais
e
, é:
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e
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e
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e
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