Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando variação de parâmetros. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem, soluções da equação homogênea associada e o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Precisamos encontrar as soluções
e
dessa equação. A equação característica é
, ou seja,
. Isso nos dá as soluções gerais:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação completa
. Nesse método, assumimos que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 4
As fórmulas para
e
são dadas por:
onde
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 5
Calculando o Wronskiano
:
Então,
.
Passo 6
Substituindo no sistema:
Passo 7
Integrando
e
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Para
:
Fazendo a substituição
,
:
Desconsideramos a constante de integração
pois será absorvida nas constantes gerais.
Passo 9
Para
:
Sabemos que
. Ignoramos a constante
:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na fórmula da solução particular:
Simplificando:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Passo 12
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Calculamos a derivada de
:
Na avaliação em
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
com as condições iniciais
e
é:
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e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
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