Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando variação de parâmetros. Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem, soluções da equação homogênea associada e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Precisamos encontrar as soluções e dessa equação. A equação característica é , ou seja, . Isso nos dá as soluções gerais:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa . Nesse método, assumimos que as constantes e são funções de , ou seja, e .

Passo 4

As fórmulas para e são dadas por:
onde e é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 5

Calculando o Wronskiano :
Então, .

Passo 6

Substituindo no sistema:

Passo 7

Integrando e :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Para :
Fazendo a substituição , :
Desconsideramos a constante de integração pois será absorvida nas constantes gerais.

Passo 9

Para :
Sabemos que . Ignoramos a constante :

Passo 10

Agora, substituímos e na fórmula da solução particular:
Simplificando:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Passo 12

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para :
Calculamos a derivada de :
Na avaliação em :

Resposta

A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais e é:

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