Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando f(x) bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
c)
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=f(x) x in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as soluções da equação da onda dada, usando uma função e suas séries, que já calculamos no primeiro exercício. A matéria envolvida aqui é a equação da onda, que descreve como as ondas se propagam no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, que nos ajudam a expressar funções em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 9 uxx
Aqui, representa a posição da onda em um ponto no tempo . As subscritas e indicam derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente. Essa é a equação da onda, onde o número 9 está relacionado à velocidade de propagação da onda.

Passo 3

As condições de contorno são dadas por:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 para todo t >= 0
Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero. Essas são condições de contorno de Dirichlet, que fixam o valor da solução nas bordas do domínio espacial.

Passo 4

As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = f(x)
Isso nos diz que no tempo , a posição da onda é dada por e a velocidade inicial da onda também é . Essas são as condições iniciais que determinam o estado da onda no início da observação.

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de u(x, t) = X(x)T(t) e uma função de X(x)T''(t) = 9 X''(x)T(t) :
T''(t)9 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação da onda:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Dividindo ambos os lados por T''(t) + 9lambda T(t) = 0 :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:

Passo 6

Resolvendo a equação para lambdan = n^2 para n = 1, 2, 3, dots com as condições de contorno Xn(x) = sin(nx) e , encontramos os valores de :
As soluções correspondentes são:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + 9n^2 T(t) = 0 :
Tn(t) = An cos(3n t) + Bn sin(3n t)
As soluções gerais são:

Passo 8

Assim, a solução geral da equação da onda é uma soma sobre todas as soluções modais:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(3n t) + Bn sin(3n t) ] sin(nx)

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(nx) = f(x) e An = 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx . Primeiro, para ut(x, 0) = sumn=1^infty 3n Bn sin(nx) = f(x) :
Bn = 23npi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx
Isso implica que:
Para a derivada em relação ao tempo no instante :
Assim:

Passo 10

Finalmente, substituímos u(x, t) = sumn=1^infty [ ( 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx ) cos(3n t) + ( 23npi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx ) sin(3n t) ] sin(nx) e na expressão geral:

Resposta

A solução para o problema da onda é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ ( 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx ) cos(3n t) + ( 23npi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx ) sin(3n t) ] sin(nx)

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Sejam as funções abaixo:
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I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.