Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as soluções da equação da onda dada, usando uma função e suas séries, que já calculamos no primeiro exercício. A matéria envolvida aqui é a equação da onda, que descreve como as ondas se propagam no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, que nos ajudam a expressar funções em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 9 uxx
Aqui, representa a posição da onda em um ponto no tempo . As subscritas e indicam derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente. Essa é a equação da onda, onde o número 9 está relacionado à velocidade de propagação da onda.
Passo 3
As condições de contorno são dadas por:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 para todo t >= 0
Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero. Essas são condições de contorno de Dirichlet, que fixam o valor da solução nas bordas do domínio espacial.
Passo 4
As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = f(x)
Isso nos diz que no tempo , a posição da onda é dada por e a velocidade inicial da onda também é . Essas são as condições iniciais que determinam o estado da onda no início da observação.
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de u(x, t) = X(x)T(t) e uma função de X(x)T''(t) = 9 X''(x)T(t) :
T''(t)9 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação da onda:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Dividindo ambos os lados por T''(t) + 9lambda T(t) = 0 :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
Passo 6
Resolvendo a equação para lambdan = n^2 para n = 1, 2, 3, dots com as condições de contorno Xn(x) = sin(nx) e , encontramos os valores de :
As soluções correspondentes são:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para T''(t) + 9n^2 T(t) = 0 :
Tn(t) = An cos(3n t) + Bn sin(3n t)
As soluções gerais são:
Passo 8
Assim, a solução geral da equação da onda é uma soma sobre todas as soluções modais: