Sejam as funções abaixo:
f(x) = 25, para x in [0, pi]
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo de a . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as séries de Fourier dessa função, tanto em senos quanto em cossenos. Séries de Fourier são maneiras de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais (como senos e cossenos). Para isso, vamos precisar entender as fórmulas básicas das séries de Fourier para senos e cossenos e aplicar na nossa função constante.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a série de Fourier em senos. Essa série é usada quando a função é ímpar em relação ao eixo vertical, mas mesmo que nossa função seja constante (e, portanto, par), a gente pode expandi-la em uma série de senos ajustando os coeficientes.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos em um intervalo é:
Onde os coeficientes são dados por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes :
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Então,
Isso significa que todos os termos pares ( par) terão , e os termos ímpares terão .

Passo 4

Agora, podemos escrever a série de Fourier em senos:
í
Ou, de forma mais compacta:

Passo 5

Agora, vamos para a série de Fourier em cossenos. Como a função é par (símétrica em relação ao eixo y), a expansão em cossenos é mais apropriada. A fórmula geral da série de Fourier em cossenos é:
Onde:
Novamente, e .

Passo 6

Calculando :
Agora, calculamos :
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Portanto, todos os .

Resposta

I) Série de Fourier em senos:
II) Série de Fourier em cossenos:

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
© y = -x^2 + 2x, y = 0; о eixo x.
Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando f(x) bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
c)
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=f(x) x in[0, pi]
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, y = 2; о eixo y.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) x = y^(3/2), x = 0, y = 1, о eixo y.