Sejam as funções abaixo:
, para
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo de
a
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as séries de Fourier dessa função, tanto em senos quanto em cossenos. Séries de Fourier são maneiras de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais (como senos e cossenos). Para isso, vamos precisar entender as fórmulas básicas das séries de Fourier para senos e cossenos e aplicar na nossa função constante.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a série de Fourier em senos. Essa série é usada quando a função é ímpar em relação ao eixo vertical, mas mesmo que nossa função seja constante (e, portanto, par), a gente pode expandi-la em uma série de senos ajustando os coeficientes.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos em um intervalo
é:
Onde os coeficientes
são dados por:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes
:
Sabemos que:
Aplicando os limites de
a
:
Então,
Isso significa que todos os termos pares (
par) terão
, e os termos ímpares terão
.
Passo 4
Agora, podemos escrever a série de Fourier em senos:
Ou, de forma mais compacta:
Passo 5
Agora, vamos para a série de Fourier em cossenos. Como a função
é par (símétrica em relação ao eixo y), a expansão em cossenos é mais apropriada. A fórmula geral da série de Fourier em cossenos é:
Onde:
Novamente,
e
.
Passo 6
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Portanto, todos os
.
Resposta
I) Série de Fourier em senos:
II) Série de Fourier em cossenos: