Sejam as funções abaixo: , para
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo de a . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as séries de Fourier dessa função, tanto em senos quanto em cossenos. Séries de Fourier são maneiras de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais (como senos e cossenos). Para isso, vamos precisar entender as fórmulas básicas das séries de Fourier para senos e cossenos e aplicar na nossa função constante.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a série de Fourier em senos. Essa série é usada quando a função é ímpar em relação ao eixo vertical, mas mesmo que nossa função seja constante (e, portanto, par), a gente pode expandi-la em uma série de senos ajustando os coeficientes.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos em um intervalo é:
Onde os coeficientes são dados por:
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes :
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Então,
Isso significa que todos os termos pares ( par) terão , e os termos ímpares terão .
Passo 4
Agora, podemos escrever a série de Fourier em senos:
Ou, de forma mais compacta:
Passo 5
Agora, vamos para a série de Fourier em cossenos. Como a função é par (símétrica em relação ao eixo y), a expansão em cossenos é mais apropriada. A fórmula geral da série de Fourier em cossenos é: