Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(b)
; o eixo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
em torno do eixo x. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva
é uma função crescente que passa pela origem. A linha
é simplesmente o eixo x. E
é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (1,0). Então, a região que vamos girar está entre
e
, debaixo da curva
.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar o sólido como uma série de discos infinitamente finos empilhados ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é
, onde
é o raio do disco, que, nesse caso, é igual a
.
Passo 4
Vamos montar a integral que calcula o volume. Como estamos integrando ao longo do eixo x, os limites de integração vão de
a
. A fórmula geral para o volume pelo método dos discos é:
Aqui,
, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.