Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(b) y = x^3, y = 0, x = 1; o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo x) e em torno do eixo x. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma função crescente que passa pela origem. A linha é simplesmente o eixo x. E é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (1,0). Então, a região que vamos girar está entre e , debaixo da curva .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar o sólido como uma série de discos infinitamente finos empilhados ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é , onde é o raio do disco, que, nesse caso, é igual a .

Passo 4

Vamos montar a integral que calcula o volume. Como estamos integrando ao longo do eixo x, os limites de integração vão de a . A fórmula geral para o volume pelo método dos discos é:
Aqui, , então substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

(b) Se a solução de (40) tiver a forma u(x, t) = v(x) + w(x, t) onde v é a função encontrada no item anterior, mostre que w satisfaz o problema dado em (39), com alpha = 1.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) y = x^2, y = 0, x = 2; o eixo y.
Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando f(x) bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
c)
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=f(x) x in[0, pi]
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
© y = -x^2 + 2x, y = 0; о eixo x.