Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(b) ; o eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo x) e em torno do eixo x. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma função crescente que passa pela origem. A linha é simplesmente o eixo x. E é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (1,0). Então, a região que vamos girar está entre e , debaixo da curva .
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar o sólido como uma série de discos infinitamente finos empilhados ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é , onde é o raio do disco, que, nesse caso, é igual a .
Passo 4
Vamos montar a integral que calcula o volume. Como estamos integrando ao longo do eixo x, os limites de integração vão de a . A fórmula geral para o volume pelo método dos discos é: