Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
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; о eixo
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. A gente tem a função
e a reta
(que é o eixo x). Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido que é formado quando a área limitada por essas curvas é girada em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Vamos resolver
:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando a região é girada em torno do eixo x, o volume pode ser calculado pela integral:
Aqui,
é a função que define a curva, que no nosso caso é
.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, precisamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa expressão de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Subtraindo os valores:
Vamos calcular os termos:
Somando:
Agora, multiplicamos por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é aproximadamente
unidades cúbicas.