Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
© y = -x^2 + 2x, y = 0; о eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. A gente tem a função e a reta (que é o eixo x). Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido que é formado quando a área limitada por essas curvas é girada em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Vamos resolver :
Então, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando a região é girada em torno do eixo x, o volume pode ser calculado pela integral:
Aqui, é a função que define a curva, que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, precisamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa expressão de a :
Para :
Para :

Passo 6

Subtraindo os valores:
Vamos calcular os termos:
Somando:
Agora, multiplicamos por :
ú

Resposta

O volume do sólido gerado é aproximadamente unidades cúbicas.

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