(b) Se a solução de (40) tiver a forma
onde
é a função encontrada no item anterior, mostre que
satisfaz o problema dado em (39), com
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma solução
que é dividida em duas partes:
, que depende só de
, e
, que depende de
e
. A ideia aqui é mostrar que essa parte
satisfaz uma equação específica, que está referenciada como problema (39) com
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais parciais, onde uma solução é expressa como a soma de duas funções. Precisamos usar propriedades das soluções dessas equações para fazer essa demonstração.
O que vamos precisar: Vamos substituir a forma dada de
na equação original (presumivelmente a equação número 40) e manipular os termos para isolar a equação que
deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão
na equação original (40). Supondo que a equação (40) seja uma equação diferencial que
deve satisfazer, temos:
Substituindo
:
Como
é uma função de
apenas, sua derivada em relação a
é zero:
Passo 3
Agora, usamos a informação de que
já é uma solução do item anterior, ou seja,
satisfaz a equação relacionada. Isso significa que os termos envolvendo
já obedecem a certa condição, possivelmente cancelando alguns termos na equação acima.
Portanto, a equação simplifica para:
Esses “termos restantes” devem ser zero ou ajustados conforme a especificação do problema (39).
Passo 4
Considerando que o problema (39) com
define a equação que
deve satisfazer, ajustamos a equação final para:
Isso mostra que
satisfaz a equação de difusão (ou outra relevante conforme o contexto do problema 39) com
.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz o problema dado em (39) com
.
Exercícios relacionados
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) ; o eixo
.
(a)
Sejam as funções abaixo:
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(b) ; o eixo
.
(b)
Encontre as soluções dos problemas da onda abaixo, utilizando
bem como suas séries, calculadas no primeiro exercício desta lista.
c)
c)