Encontre soluções para os problemas de valor inicial y'(t) = t^3 + t^2 e y(0) = 1, para t in (0, pi);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução para a equação diferencial de valor inicial com a condição , e isso vale para no intervalo de a . Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente o método de integração direta, que é bem tranquilo para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa a derivada de em relação a . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos integrar em relação a :
A integração de cada termo é feita separadamente.

Passo 4

Integrando termo a termo:
Então, somando os resultados:
onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a constante de integração é 1.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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