Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
, no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar condições iniciais para determinar a constante de integração.
Passo 2
A equação diferencial dada é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, na forma
. Para resolver, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Integrando ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na expressão de
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituindo o valor de
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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, para
.
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, para
;
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
.
Seja
um função contínua em um intervalo
. Determine a solução do PVI:
quando
e
.