Encontre soluções para os problemas de valor inicial y'(t) = e^(3 t) e y(0) = e/3, para t in (0, pi).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial , no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar condições iniciais para determinar a constante de integração.

Passo 2

A equação diferencial dada é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, na forma . Para resolver, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Integrando ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na expressão de :
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo o valor de na expressão de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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