Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias: y'(t) = e^(3 t), para t in (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo , e queremos encontrar a solução dessa equação para t no intervalo (0, pi). Isso está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração, que é como “desfazer” uma derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de y em relação a t, ou seja, y'(t), é igual a . Isso significa que a taxa de mudança de y conforme t varia é dada por . Para encontrar a função y(t), precisamos “integrar” essa expressão.

Passo 3

A integração é o processo inverso da diferenciação. Então, para achar y(t), vamos integrar ambos os lados da equação em relação a t:
A integração do lado esquerdo simplesmente nos dá y(t), porque a integral da derivada de uma função retorna a própria função (mais uma constante, que vamos considerar depois).

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito. A integral de em relação a t é:
Aqui, C é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida de uma função adiciona uma constante arbitrária.

Passo 5

Colocando tudo junto, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Como não temos uma condição inicial para determinar o valor de C, deixamos a constante na resposta final.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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