Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
, e queremos encontrar a solução dessa equação para
no intervalo
. Isso está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração, que é como “desfazer” uma derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a
. Isso significa que a taxa de mudança de
conforme
varia é dada por
. Para encontrar a função
, precisamos “integrar” essa expressão.
Passo 3
A integração é o processo inverso da diferenciação. Então, para achar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplesmente nos dá
, porque a integral da derivada de uma função retorna a própria função (mais uma constante, que vamos considerar depois).
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito. A integral de
em relação a
é:
Aqui,
é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida de uma função adiciona uma constante arbitrária.
Passo 5
Colocando tudo junto, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Como não temos uma condição inicial para determinar o valor de
, deixamos a constante na resposta final.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
.