Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias: , para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo , e queremos encontrar a solução dessa equação para no intervalo . Isso está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração, que é como “desfazer” uma derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de em relação a , ou seja, , é igual a . Isso significa que a taxa de mudança de conforme varia é dada por . Para encontrar a função , precisamos “integrar” essa expressão.

Passo 3

A integração é o processo inverso da diferenciação. Então, para achar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integração do lado esquerdo simplesmente nos dá , porque a integral da derivada de uma função retorna a própria função (mais uma constante, que vamos considerar depois).

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito. A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida de uma função adiciona uma constante arbitrária.

Passo 5

Colocando tudo junto, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Como não temos uma condição inicial para determinar o valor de , deixamos a constante na resposta final.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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