Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
.
Passo 1
Beleza, vamos olhar o enunciado: temos a equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Existência e Unicidade Local, que ajuda a determinar se uma solução para a equação diferencial existe e se ela é única perto do ponto inicial. Para aplicar esse teorema, precisamos verificar se a função que define a equação e sua derivada em relação a
são contínuas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro o que estamos lidando. Podemos resolver para
:
Aqui, a função
. Agora, vamos verificar se essa função é contínua no ponto
.
Passo 3
Observamos que quando
, a função
se torna indefinida, ou seja, não está definida. Além disso, a derivada de
em relação a
também não é contínua em
. Isso significa que uma das condições do Teorema de Existência e Unicidade Local não é satisfeita.
Passo 4
Como o teorema não se aplica aqui devido à descontinuidade, não podemos garantir que existe uma única solução que passa pelo ponto
. Na verdade, tentando resolver a equação, percebemos que não há uma solução que satisfaça a condição inicial sem causar problemas na definição da função.
Resposta
O problema não tem solução única local.
Exercícios relacionados
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
.
Seja
um função contínua em um intervalo
. Determine a solução do PVI:
quando
e
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;