Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) .

Passo 1

Beleza, vamos olhar o enunciado: temos a equação diferencial com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Existência e Unicidade Local, que ajuda a determinar se uma solução para a equação diferencial existe e se ela é única perto do ponto inicial. Para aplicar esse teorema, precisamos verificar se a função que define a equação e sua derivada em relação a são contínuas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro o que estamos lidando. Podemos resolver para :
Aqui, a função . Agora, vamos verificar se essa função é contínua no ponto .

Passo 3

Observamos que quando , a função se torna indefinida, ou seja, não está definida. Além disso, a derivada de em relação a também não é contínua em . Isso significa que uma das condições do Teorema de Existência e Unicidade Local não é satisfeita.

Passo 4

Como o teorema não se aplica aqui devido à descontinuidade, não podemos garantir que existe uma única solução que passa pelo ponto . Na verdade, tentando resolver a equação, percebemos que não há uma solução que satisfaça a condição inicial sem causar problemas na definição da função.

Resposta

O problema não tem solução única local.

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