Seja um função contínua em um intervalo . Determine a solução do PVI: quando e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma . No nosso caso, podemos reescrever a equação como , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por . Substituindo , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A solução do PVI é .

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Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) .
Encontre soluções para os problemas de valor inicial e , para .
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo: ;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo: .