Seja
um função contínua em um intervalo
. Determine a solução do PVI:
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem usando fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma
. No nosso caso, podemos reescrever a equação como
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por
. Substituindo
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução do PVI é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
.
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.